Question

【题目】综合与实践

数学活动课上，小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形，其中，，连接，、、分别为边、、的中点，连接、.

操作发现：

小红发现了：、有一定的关系，数量关系为_____________________________；位置关系为_________________.

类比思考：

如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形绕点旋转一定的角度，其它条件都不变，小红发现的结论还成立吗？请说明理由.（提示：连接、并延长交于一点）

深入探究：

在上述类比思考的基础上，小红做了进一步的探究.如图3，作任意一个三角形，其中，在三角形外侧以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，分别取斜边、与边的中点、、，连接、、，试判断三角形的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】操作发现：MG=NG，MG⊥NG；类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由见解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由见解析．

【解析】

操作发现：利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；

类比思考：同操作发现的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论；

深入探究：同操作发现的方法即可得出结论．

解：操作发现：如图1，连接BE，CD相交于H，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点，
∴MG∥CD，MG= CD，

同理：NG∥BE，NG=BE，
∴MG=NG，MG⊥NG，
故答案为：MG=NG，MG⊥NG；

类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，

理由：如图2，连接、并延长交于一点

同操作发现的方法得，MG=NG，
同操作发现的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEF+∠ECF=∠AEF-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°，
∴∠DFE=90°，
同操作发现的方法得，MG⊥NG，
∴MG=NG，MG⊥NG；

深入探究：△MGN是等腰直角三角形，

理由：如图3，连接CD，BE相交于点H，
同操作发现的方法得，MG=NG，MG⊥NG，

∴△MGN是等腰直角三角形．

故答案为：操作发现：MG=NG，MG⊥NG；类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由见解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由见解析．