Question

14．如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；
②连接OO′，则OO′=4；
③∠AOB=150°；
④S_{四边形AOBO′}=6+4$\sqrt{3}$．
其中正确的结论是①②③④．

Answer 1

分析 如图，首先证明△OBO′为为等边三角形，得到OO′=OB=4，故选项②正确；证明△ABO′≌△CBO，得到选项①正确；运用勾股定理逆定理证明△AOO′为直角三角形，求出∠AOB的度数，得到选项③正确；运用面积公式求出四边形AOBO′的面积，可判断选项④正确．

解答 解：如图，连接OO′；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=CB；
由题意得：∠OBO′=60°，OB=O′B，
∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′=∠CBO，
∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°，
∴选项②正确；
在△ABO′与△CBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABO′=∠CBO}\\{BO′=BO}\end{array}\right.$，
∴△ABO′≌△CBO（SAS），
∴AO′=OC=5，
△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到，
∴选项①正确；
在△AOO′中，∵3²+4²=5²，
∴△AOO′为直角三角形，
∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°，
∴选项③正确；
∵${S}_{四边形AOBO′}=\frac{1}{2}×{4}^{2}×sin60°$+$\frac{1}{2}×3×4$=$4\sqrt{3}+6$，
∴选项④正确．
综上所述，正确选项为①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点，这是灵活解题的基础．