Question

如图，直角坐标系中有直角梯形AOBC，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，AC∥OB，AC=6cm，AO=8cm，OB=12cm．
（1）求BC的长；
（2）动点P、Q都从点B出发，点P沿B→O方向做匀速运动，到点O处停止；点Q沿B→C→A方向做匀速运动，到点A处停止．若点P的速度是1cm/s，点Q的速度是3cm/s：
①运动过程中是否存在某一时刻，以P、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？说明理由．
②连接PQ，直线PQ是否能把梯形ACBO的周长和面积同时平分？说明理由．
（3）若P在线段OB上，Q在线段AC上，直线PQ在经过梯形内某点时，一定能将梯形分成面积相等的两部分，请直接写出该点坐标．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）作CD⊥OB于D，得到矩形OACD，根据矩形的性质得出OD=AC=6cm，CD=AO=8cm，那么BD=OB-OD=6cm，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出BC=

BD2+CD2

=10cm；
（2）①由于BP∥CQ，所以当BP=CQ时，以P、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形．分0＜t≤

10

3

；

10

3

＜t＜

16

3

；

16

3

≤t≤12三种情况进行讨论；
②先分别求出梯形ACBO的周长及面积，再求出直线PQ把梯形的周长平分时的t值，将此时的t值代入求BPQC的面积，如果所求值是梯形ACBO面积的一半，说明能够；否则不能；
（3）设AC中点为E，OB中点为F，连结EF，过EF中点G的直线一定能将梯形分成面积相等的两部分．根据中点坐标公式求解即可．

解答：解：（1）如图，作CD⊥OB于D，则四边形OACD是矩形，
OD=AC=6cm，CD=AO=8cm．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=OB-OD=6cm，CD=8cm，
∴BC=

BD2+CD2

=10cm；

（2）①∵BP∥CQ，
∴当BP=CQ时，以P、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形．
如果0＜t≤

10

3

时，Q在线段BC上，显然t不存在；
如果

10

3

＜t＜

16

3

时，Q在线段AC上，当t=3t-10，即t=5时，以P、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形；
如果

16

3

≤t≤12时，Q在A点，当当BP=CA，即t=6时，以P、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形；
综上所述，运动过程中存在t=5s或6s，以P、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形；
②不存在，理由如下：
∵梯形ACBO的周长和面积分别为：
周长=6+8+12+10=36（cm），面积=

1

2

（6+12）×8=72（cm²）．
若当线段PQ平分梯形ACBO的周长时，Q在AC上，则BP+BC+CQ=

1

2

×36=18，
即t+3t=18，解得t=4.5，
此时，CQ=3t-10=3，BP=t=4.5，
梯形BPQC的面积为

1

2

（3+4.5）×8=30≠

1

2

×72=36．
∴不存在某一时刻t，使直线PQ能把梯形ACBO的周长和面积同时平分；

（3）设AC中点为E，OB中点为F，连结EF，过EF中点G的直线一定能将梯形分成面积相等的两部分．
∵A（0，8），C（6，8），
∴AC中点E的坐标为（3，8），
∵O（0，0），B（12，0），
∴OB中点F的坐标为（6，0），
∴EF中点G的坐标为（4.5，4）．
故所求点的坐标为（4.5，4）．

点评：本题是四边形综合题，其中涉及到矩形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定，梯形的周长与面积，中点坐标公式，综合性较强，难度适中．进行分类讨论、数形结合是解题的关键．