阅读材料.回答问题:(1)中国古代数学著作图1有着这样的记载:“勾广三.股修四.经隅五．．这句话的意思是:“如果直角三角形两直角边为3和4时.那么斜边的长为5．．上述记载表明了:在Rt△ABC中.如果∠C=90°.BC=a.AC=b.AB=c.那么a.b.c三者之间的数量关系是:a2+b2=c2．(2)对于这个数量关系.我国汉代数学家赵爽根据� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作图1《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：a²+b²=c²．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$，S_{正方形ABCD}=c²，
S_{正方形MNPQ}=（a+b）²．
又∵正方形MNPQ的面积=四个全等直角三角形的面积+正方形AEDB的面积，
∴（a+b）²=$4×\frac{1}{2}ab+{c}^{2}$，
整理得a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²．
（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．

分析（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可．

解答解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
由勾股定理得，a²+b²=c²，
故答案为：a²+b²=c²；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$，S_{正方形ABCD}=c²，
S_{正方形MNPQ}=（a+b）²；
又∵正方形的面积=四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AEDB的面积，
∴（a+b）²=$4×\frac{1}{2}ab+{c}^{2}$，
整理得，a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²，
故答案为：（a+b）²；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AEDB的面积；a²+b²=c²；
（3）设BE=x，则EC=8-x，
由折叠的性质可知，AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，
则（8-x）²=4²+x²，
解得，x=3，
则BE的长为3．

点评本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．

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