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【题目】抛物线经过点A(﹣10)和B20),直线yx+m经过点A和抛物线的另一个交点为C

1)求抛物线的解析式.

2)动点PQ从点A出发,分别沿线段AC和射线AO运动,运动的速度分别是每秒4个单位长度和3个单位长度.连接PQ,设运动时间为t秒,APQ的面积为s,求st的函数关系式.(不写t的取值范围)

3)在(2)的条件下,线段PQ交抛物线于点D,点E在线段AP上,且AEAQ,连接ED,过点DDFDEx轴于点F,当DFDE时,求点F的坐标.

【答案】(1);(2)S=3;(3)点F坐标为(10

【解析】

1)利用点AB坐标,用待定系数法即求得解析式.
2)根据题意画出PQ,易得以AQ为底来求APQ面积较容易,故过点Px轴的垂线PH.利用相似对应边的比相等,用t表示PH,则写出st的关系式.
3)由DEDFDF=DE联想到构造相似三角形,故过点DMNx轴于点N,过点EEMMN于点M构造NDF∽△MED,相似比为.设Dd),Ff0),再有E的坐标可用t表示,则两相似三角形的边都能用dtf表示,且根据相似比为列得两个方程.又由PQ坐标求得直线PQ的解析式(含t),点D在直线PQ上又满足解析式,列得第三个方程.解三元方程组,即求得f

1)∵抛物线经过点A(﹣10)和B20),

解得:

∴抛物线的解析式为 .

2)设ACy轴交点为G,过点PPHx轴于点H

依题意得:AP4tAQ3t

∵直线ACyx+m经过点A(﹣10

-+m0,得m

∴直线AC解析式为:yx+

G0),OG

AG=2

GOPH

∴△AGO∽△APH

=

PH= =2t

sAQPHt=3

3)过点DMNx轴于点N,过点EEMMN于点M,作ERx轴于点R

∴四边形EMNR是矩形,AGO∽△AER

==

AEAQ3tAG2GOAO1

MNERtAR

E(﹣1+t

设点Dd),Ff0

EMd﹣(﹣1+)=d+1MDt-DNFNdf

DEDF

∴∠EMD=∠EDF=∠DNF90°

∴∠MED+MDE=∠MDE+NDF90°

∴∠NDF=∠MED

∴△NDF∽△MED

= = =

DNEMFNMD

=(d+1-)

df[-()]

P(﹣1+2t2t),Q(﹣1+3t0

∴直线PQ解析式为:y=﹣2x+6t2

∵点DPQ与抛物线交点

∴﹣2d+6t2=

把①③联立方程组解得: ,(舍去)

∴由②得:f+d--t1

∴点F坐标为(10

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