【题目】抛物线经过点A(﹣1,0)和B(2,0),直线y=x+m经过点A和抛物线的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)动点P、Q从点A出发,分别沿线段AC和射线AO运动,运动的速度分别是每秒4个单位长度和3个单位长度.连接PQ,设运动时间为t秒,△APQ的面积为s,求s与t的函数关系式.(不写t的取值范围)
(3)在(2)的条件下,线段PQ交抛物线于点D,点E在线段AP上,且AE=AQ,连接ED,过点D作DF⊥DE交x轴于点F,当DF=DE时,求点F的坐标.
【答案】(1);(2)S=3;(3)点F坐标为(1,0)
【解析】
(1)利用点A、B坐标,用待定系数法即求得解析式.
(2)根据题意画出PQ,易得以AQ为底来求△APQ面积较容易,故过点P作x轴的垂线PH.利用相似△对应边的比相等,用t表示PH,则写出s与t的关系式.
(3)由DE⊥DF且DF=DE联想到构造相似三角形,故过点D作MN⊥x轴于点N,过点E作EM⊥MN于点M构造△NDF∽△MED,相似比为.设D(d,),F(f,0),再有E的坐标可用t表示,则两相似三角形的边都能用d、t、f表示,且根据相似比为列得两个方程.又由P、Q坐标求得直线PQ的解析式(含t),点D在直线PQ上又满足解析式,列得第三个方程.解三元方程组,即求得f.
(1)∵抛物线经过点A(﹣1,0)和B(2,0),
∴ 解得:
∴抛物线的解析式为 .
(2)设AC与y轴交点为G,过点P作PH⊥x轴于点H,
依题意得:AP=4t,AQ=3t
∵直线AC:y=x+m经过点A(﹣1,0)
∴-+m=0,得m=
∴直线AC解析式为:y=x+
∴G(0,),OG=
∴AG==2
∵GO∥PH
∴△
∴=
∴PH== =2t
∴s=AQPH=t=3
(3)过点D作MN⊥x轴于点N,过点E作EM⊥MN于点M,作ER⊥x轴于点R
∴四边形EMNR是矩形,△AGO∽△AER
∴==
∵AE=AQ=3t,AG=2,GO=,AO=1
∴MN=ER=t,AR=
∴E(﹣1+,t)
设点D(d,),F(f,0)
∴EM=d﹣(﹣1+)=d+1﹣,MD=t-,DN=,FN=d﹣f
∵DE⊥DF
∴∠EMD=∠EDF=∠DNF=90°
∴∠MED+∠MDE=∠MDE+∠NDF=90°
∴∠NDF=∠MED
∴△NDF∽△MED
∴ = = =
∴DN=EM,FN=MD
∴=(d+1-)①
d﹣f=[-()]②
∵P(﹣1+2t,2t),Q(﹣1+3t,0)
∴直线PQ解析式为:y=﹣2x+6t﹣2
∵点D为PQ与抛物线交点
∴﹣2d+6t﹣2=③
把①③联立方程组解得: ,(舍去)
∴由②得:f=+d--t=1
∴点F坐标为(1,0)
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【题目】在平面直角坐标系中,函数y1=ax+b(a、b为常数,且ab≠0)的图象如图所示,y2=bx+a,设y=y1·y2.
(1)当b=-2a时,
①若点(1,4)在函数y的图象上,求函数y的表达式;
②若点(x1,p)和(x2,q)在函数y的图象上,且,比较p,q的大小;
(2)若函数y的图象与x轴交于(m,0)和(n,0)两点,求证:m=.
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【题目】已知:如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,﹣3)、B(3,﹣2)、C(2,﹣4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1;
(2)以点C为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的位似比为2:1,并直接写出点A2的坐标.
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【题目】在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A、C的坐标分别为(﹣4,5),(﹣1,3).
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
(3)点B′的坐标为 .
(4)△ABC的面积为 .
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【题目】小林准备进行如下操作实验:把一根长为的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)若设其中的一个正方形边长为,则另一个正方形边长为_____;
(2)要使这两个正方形的面积之和等于,两段长分别是多少?
(3)若要使得这两个正方形的面积之和最小,两段长分别是多少?
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【题目】已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)画出该二次函数的图象;
(2)连接AC、CD、BD,求ABCD的面积
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【题目】已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm,宽CD为30cm,按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形(即图中阴影部分),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子,
设剪掉的小正方形边长为xcm.(纸板的厚度忽略不计)
(1)填空:EF= .cm,GH= .cm;(用含x的代数式表示)
(2)若折成的长方体盒子的表面积为950cm2,求该长方体盒子的体积
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