Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形．AB＝5，点P是对角线AC上任意一点，E、F分别是AB、BC边上的中点．当点P在线段AC上移动时，则PE+PF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF＝NF＝AB．

解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，

∴PN＝PE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，

∵E为AB的中点，

∴N在AD上，且N为AD的中点，

∵AD∥CB，

∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP，

∵AD＝BC，N为AD中点，F为BC中点，

∴AN＝CF，

在△ANP和△CFP中

，

∴△ANP≌△CFP（ASA），

∴AP＝CP，

即P为AC中点，

∵O为AC中点，

∴P、O重合，

即NF过O点，

∵AN∥BF，AN＝BF，

∴四边形ANFB是平行四边形，

∴NF＝AB＝5，

即PE+PF的最小值是5，

故答案为：5．