【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC的中点,四边形ABDE是平行四边形,AC,DE相交于点O.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若∠AOE=60°,AE=2,求矩形ADCE对角线的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)4.
【解析】
(1)先根据四边形ABDE是平行四边形和D为BC的中点判定四边形AECD是平行四边形,再结合AB=AC,推出∠ADC=90°,即可得出结论;
(2)根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分,得出△AOE为等边三角形,即可求出AO的长,从而得到矩形ADCE对角线的长.
(1)证明:∵四边形ABDE是平行四边形,
∴BD=AE,BD∥AE.
∵D为BC的中点,
∴CD=BD,
∴CD=AE.
∴四边形AECD是平行四边形.
又∵AB=AC,∴∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解:∵四边形ADCE是矩形,
∴AO=EO,∵∠AOE=60°
∴△AOE为等边三角形,
∴AO=AE=2,
∴AC=2OA=4.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点M是边BC上的一点(不与B、C重合),点N在CD边的延长线上,且满足∠MAN=90°,联结MN、AC,N与边AD交于点E.
(1)求证:AM=AN;
(2)如果∠CAD=2∠NAD,求证:AM2=ACAE.
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【题目】阅读下列材料,完成任务:
自相似图形
定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.
任务:
(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为 ;
(2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为 ;
(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).
请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择 题.
A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含n,b的式子表示);
B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含m,n,b的式子表示).
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【题目】已知:如图1,在⊙O中,直径AB=4,CD=2,直线AD,BC相交于点E.
(1)∠E的度数为.
(2)如图2,AB与CD交于点F,请补全图形并求∠E的度数;
(3)如图3,弦AB与弦CD不相交,求∠AEC的度数.
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【题目】如图,印刷一张矩形的包装纸,印刷部分的长为8cm,宽为4cm,上下空白宽各cm,左右空白宽各xcm,四周空白处的面积为Scm2.
(1)求S与x的关系式;
(2)当四周空白处的面积为18cm2时,求x的值.
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【题目】某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | ||
y | … | 3 | m | ﹣1 | 0 | ﹣1 | 0 | 3 | … |
其中,m= .
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有 个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 个实数根;
②方程x2﹣2|x|=有 个实数根;
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是 .
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