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【题目】如图,在ABC中,ABACD为边BC的中点,四边形ABDE是平行四边形,ACDE相交于点O

1)求证:四边形ADCE是矩形;

2)若∠AOE60°AE2,求矩形ADCE对角线的长.

【答案】1)证明见解析;(24.

【解析】

1)先根据四边形ABDE是平行四边形和DBC的中点判定四边形AECD是平行四边形,再结合ABAC,推出∠ADC90°,即可得出结论;

2)根据∠AOE60°和矩形的对角线相等且互相平分,得出AOE为等边三角形,即可求出AO的长,从而得到矩形ADCE对角线的长.

1)证明:∵四边形ABDE是平行四边形,

BDAEBDAE

DBC的中点,

CDBD

CDAE

∴四边形AECD是平行四边形.

又∵ABAC,∴∠ADC90°

∴四边形ADCE是矩形.

2)解:∵四边形ADCE是矩形,

AOEO,∵∠AOE60°

∴△AOE为等边三角形,

AOAE2

AC2OA4

练习册系列答案
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【题目】如图,在中,延长线上一点,点上,且,若,则的度数为__________

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【题目】如图,在正方形ABCD中,点M是边BC上的一点(不与B、C重合),点NCD边的延长线上,且满足∠MAN=90°,联结MN、AC,N与边AD交于点E.

(1)求证:AM=AN;

(2)如果∠CAD=2NAD,求证:AM2=ACAE.

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【题目】已知:如图,在等腰直角三角形中,的中点,且,垂足为点,过点的延长线于点,联结.

1)求证:

2)连接,试判断的形状,并说明理由.

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【题目】ABC中,AB=1,BC=2,以AC为边作等边三角形ACD,连接BD,则线段BD的最大值为_____

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【题目】阅读下列材料,完成任务:

自相似图形

定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.

任务:

(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为   

(2)如图2,已知ABC中,ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CDAB于点D,则CD将ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则ACD与ABC的相似比为   

(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).

请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择   题.

A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=   (用含b的式子表示);

如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=   (用含n,b的式子表示);

B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a=   (用含b的式子表示);

如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a=   (用含m,n,b的式子表示).

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【题目】已知:如图1,在⊙O中,直径AB=4,CD=2,直线AD,BC相交于点E.

(1)∠E的度数为.

(2)如图2,AB与CD交于点F,请补全图形并求∠E的度数;

(3)如图3,弦AB与弦CD不相交,求∠AEC的度数.

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【题目】如图,印刷一张矩形的包装纸,印刷部分的长为8cm,宽为4cm,上下空白宽各cm,左右空白宽各xcm,四周空白处的面积为Scm2

1)求Sx的关系式;

2)当四周空白处的面积为18cm2时,求x的值.

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【题目】某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:

(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:

x

﹣3

﹣2

﹣1

0

1

2

3

y

3

m

﹣1

0

﹣1

0

3

其中,m=   

(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.

(3)探究函数图象发现:

①函数图象与x轴有   个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有   个实数根;

②方程x2﹣2|x|=   个实数根;

③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是   

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