Question

如图所示，△ABC中，∠C＞∠B，AD是△ABC的角平分线，
（1）若点P为射线AD上的任意一点，作PE⊥BC于E，且∠B=40°，∠C=60°，求∠DPE的度数．
（2）若设（1）中的∠B=n°，∠C=m°，请用m，n来表示∠DPE的度数．
（3）若△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，那么当点P在射线AD上运动时，∠DPE的度数会不会改变？如果不变直接写出结果；如果改变了，△ABC中还需要添加一个什么条件才能求出∠DPE的度数？

Answer 1

考点：三角形的外角性质

专题：

分析：（1）求出∠BAD，借助外角的性质即可解决问题．
（2）类比（1）中的方法，求出∠ADC，即可解决问题．
（3）类比（1）、（2）中的解法可以发现，∠DPE的度数仅与∠B、∠C有关，故需给出∠B或∠C的度数，即可解决问题．

解答：解：（1）∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-40°-60°=80°；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=40°；
∴∠PDE=40°+40°=80°，
∴∠DPE=90°-80°=10°．
（2）∵∠B=n°，∠C=m°，
∴∠BAC=180°-n°-m°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=90°-

m°+n°

2

，
∴∠PDE=m°+90°-

m°+n°

2

=90°+

m°-n°

2

，
∴∠DPE=90°-（90°+

m°-n°

2

），
=

n°-m°

2

．
（3）∠DPE的度数会改变；由（2）可以发现：∠DPE的度数仅与∠B、∠C有关，故给出∠B或∠C的度数，即可求出∠DPE的度数．

点评：该题考查了三角形的内角和定理及外角的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．