Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P，连接OP
（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）若∠C=60°，AB=6，点Q是⊙O上的一动点，求PQ的最大值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后根据HL证得RT△PAO≌RT△PBO，即可证得结论．
（2）根据切线的性质得出∠PAB=∠PBA=∠C=60°，OP⊥AB，从而证得△PAB为等边三角形，延长PO交⊙O于Q，连接AQ、BQ，则此时PQ最大，然后通过解直角三角形即可求得PQ的最大值．

解答：（1）证明：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
在RT△PAO和RT△PBO中，

OA=OB OP=OP

，
∴RT△PAO≌RT△PBO（HL），
∴∠APO=∠BPO；
（2）解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAB=∠PBA=∠C=60°，OP⊥AB，
∴△PAB为等边三角形，
延长PO交⊙O于Q，连接AQ、BQ，则此时PQ最大，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=∠BPO=30°
∴PQ=2×

3

2

AP=2×

3

2

AB=2×

3

2

×6=6

3

．

点评：本题考查了切线的性质，等边三角形的判定，直角三角函数的应用，连接OA、OB是常用的辅助线的方法．