Question

【题目】一个四位数，若首位和末位都是1，称这样的数为“首尾双一数”，例如：1231，1581，1941等都是“首尾双一数”．

（1）证明：一个“首尾双一数”与它去掉首位和末位后得到的两位数的3倍的差能被7整除；

（2）给定一个“首尾双一数”n，记D（n）＝，求满足D（n）是完全平方数，且n的所有位数上的数字之和为偶数的所有n．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）满足条件的n为1221或1971．

【解析】

（1）设出“首尾双一数”，进而表示出它，以及去掉首位和末位得到的两位数，即可得出结论；

（2）设出“首尾双一数”，进而得出D（n）＝99+10a+b，再判断出D（n）的范围，利用完全平方数，即可求出n，最后判断即可得出结论．

解：（1）设“首尾双一数”为，（0＜a≤9，0≤b≤9的整数），

则“首尾双一数”为1000+100a+10b+1＝1001+100a+10b，

去掉首位和末位后得到的两位数为10a+b，

∴1001+100a+10b﹣3（10a+b）＝1001+100a+10b﹣30a﹣3b＝1001+70a+7b＝7（143+10a+b），

∵0＜a≤9，0≤b≤9的整数，

∴143+10a+b为整数，

∴1001+100a+10b﹣3（10a+b）能被7整除，

即：一个“首尾双一数”与它去掉首位和末位后得到的两位数的3倍的差能被7整除；

（2）设一个“首尾双一数”n为，（0≤a≤9，0≤b≤9的整数），则n＝1001+100a+10b，

∴D（n）＝＝＝99+10a+b，

∵0≤a≤9，0≤b≤9的整数），

∴99≤99+10a+b≤198，

∴①99+10a+b＝100，

∴10a+b＝1，

∴a＝0，b＝1，

∴n＝1011，

而1+0+1+1＝3是奇数，不是偶数，不符合题意，

②99+10a+b＝121，

∴10a+b＝22，

∴a＝2，b＝2，

∴n＝1221，

而1+2+2+1＝6是偶数，符合题意，

③99+10a+b＝144，

∴10a+b＝45，

∴a＝4，b＝5，

∴n＝1451，

而1+4+5+1＝11是奇数，不是偶数，不符合题意，

④99+10a+b＝169，

∴10a+b＝70，

∴a＝7，b＝0，

∴n＝1701，

而1+7+0+1＝9是奇数，不是偶数，不符合题意，

⑤99+10a+b＝196，

∴10a+b＝97，

∴a＝9，b＝7，

∴n＝1971，

而1+9+7+1＝318是偶数，符合题意，

即：满足条件的n为1221或1971．