【题目】如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F,连接DA、BF,∠ABC=α=60°,BF=AF.
(1)求证:DA∥BC;
(2)猜想线段DF、AF的数量关系,并证明你的猜想.
【答案】(1)证明见解析;(2)猜想:DF=2AF,证明见解析.
【解析】
试题(1)利用等边三角形的判定与性质得出∠DAB=∠ABC,进而得出答案;
(2)首先利用旋转的性质以及全等三角形的判定方法得出△DBG≌△ABF(SAS),进而得出△BGF为等边三角形,求出DF=DG+FG=AF+AF=2AF.
试题解析:(1)由旋转的性质可知:∠DBE=∠ABC=60°,BD=AB,
∴△ABD为等边三角形,
∴∠DAB=60°,
∴∠DAB=∠ABC,
∴DA∥BC;
(2)猜想:DF=2AF,
证明如下:如图,在DF上截取DG=AF,连接BG,
由旋转的性质可知,DB=AB,∠BDG=∠BAF,
在△DBG和△ABF中,
,
∴△DBG≌△ABF(SAS),
∴BG=BF,∠DBG=∠ABF,
∵∠DBG+∠GBE=α=60°,
∴∠GBE+∠ABF=60°,即∠GBF=α=60°,
又∵BG=BF,
∴△BGF为等边三角形,
∴GF=BF,
又∵BF=AF,
∴FG=AF,
∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF.
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【题目】将线段绕点逆时针旋转角度得到线段,连接得,又将线段绕点逆时针旋转得线段(如图①).
求的大小(结果用含的式子表示);
又将线段绕点顺时针旋转得线段,连接(如图②)求;
连接、,试探究当为何值时,.
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是( )
A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm
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【题目】如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式不可约分,那么我们称这个分式为“和谐分式”.
(1)下列分式:①;②;③;④.其中是“和谐分式”的是 (填写序号即可);
(2)若a为正整数,且为“和谐分式”,请写出a的值 ;
(3)在分式运算中,我们也会用到判断和谐分式时所需要的知识,请你用所学知识,化简
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【题目】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角 三角形三边互求,之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题:
“今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?”
译文:“一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远,则折断后的竹子高度为多少尺?”(备注:1丈=10尺)
如果设竹梢到折断处的长度为尺,那么折断处到竹子的根部用含的代数式可表示为__________尺,根据题意,可列方程为_______________________.
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【题目】某次列车现阶段的平均速度是千米/小时,未来还将提速,在相同的时间内,列车现阶段行驶千米,提速后列车比现阶段多行驶千米.
(1)求列车平均提速多少千米/小时?
(2)若提速后列车的平均速度是千米/小时,则题中的为多少千米?
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