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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,连接BC交AD于点F.

(1)猜想ED与⊙O的位置关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=6,AD=5,求AF的长.

【答案】
(1)

解:ED与⊙O的位置关系是相切.理由如下:

连接OD,

∵∠CAB的平分线交⊙O于点D,

∴OD⊥BC,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

即BC⊥AC,

∵DE⊥AC,

∴DE∥BC,

∴OD⊥DE,

∴ED与⊙O的位置关系是相切;


(2)

解:连接BD.

∵AB是直径,

∴∠ADB=90°,

在直角△ABD中,BD= = =

∵AB为直径,

∴∠ACB=∠ADB=90°,

又∵∠AFC=∠BFD,

∴∠FBD=∠CAD=∠BAD

∴△FBD∽△BAD,

∴FD=

∴AF=AD﹣FD=5﹣ =


【解析】(1)连接OD,根据∠CAB的平分线交⊙O于点D,则 ,依据垂径定理可以得到:OD⊥BC,然后根据直径的定义,可以得到OD∥AE,从而证得:DE⊥OD,则DE是圆的切线;(2)首先证明△FBD∽△BAD,依据相似三角形的对应边的比相等,即可求DF的长,继而求得答案.

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特值探究

时,________;________

时,________;________

猜想归纳:

观察的结果,写出的关系:________.

逻辑证明:如图,边长为的正方形纸片剪出一个边长为的小正方形之后,剩余部分(即阴影部分)又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),请你说说是如何用这个图来得出中的关系?

总结应用:利用你发现的关系,求:

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A.16
B.15
C.14
D.13

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