Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为(4，3)，点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线11：y=2x+3，直线12：y=2x﹣3．

（1）分别求直线11与x轴、直线12与AB的交点D和E的坐标；

（2）已知点M在矩形ABCD内部，且是直线12上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；

（3）我们把直线11和直线12上的点所组成的图形称为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，且在AP的上方，Q是坐标平面内的点，设N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围(不必说明理由)．

Answer 1

【答案】（1）(，0)，(3，3)；（2）点M的坐标为(2，1)；（3）0＜x或x．

【解析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论，再看点M是否在矩形ABCD内部，即可求点M的坐标；
（3）根据矩形的性质和N在AP的上方，可求N点的横坐标x的取值范围．

（1）直线l1：当y=0时，2x+3=0，x，

则直线l1与x轴坐标为(，0)

直线l2：当y=3时，2x﹣3=3，x=3

则直线l2与AB的交点坐标为(3，3)；

（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1所示：

∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；

②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2所示：

过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，

则∠PNM=∠ABP=90°，∠BAP=∠NPM，

在△ABP和△PNM中，，∴△ABP≌△PNM(AAS)，∴AB=PN=4，MN=BP，

设M(x，2x﹣3)，则MN=x﹣4，∴2x﹣3=4+3﹣(x﹣4)，

x，∴M(，)，

点M在第一象限，但不在矩形ABCD内部，不合题意舍去；

③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3所示：

设M1(x，2x﹣3)，

过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，

同理：△AM1G1≌△PM1H1(AAS)，

∴AG1=M1H1=3﹣(2x﹣3)，

∴x+3﹣(2x﹣3)=4，

x=2，∴M1(2，1)；

设M2(x，2x﹣3)，

同理可得x+2x﹣3﹣3=4，∴x，

∴M2(，)，

点M2在第一象限，但不在矩形ABCD内部，不合题意舍去；

∴点M的坐标为(2，1)；

（3）当点N在直线l2上时．

∵点N的横坐标为x，

∴N(x，2x﹣3)，

当点P和点B重合时，P(4，3)，

过N作NH⊥AB于H，则△NHG是直角三角形，如图4所示：

∴AP的中点G坐标为(2，3)．

∵四边形ANPQ是矩形，

∴∠ANB=90°，

∴NGAP=2，

∴(x﹣2)2+(2x﹣3﹣3)2=4，

∴x(点N在AB上方的横坐标)或x=2(点N在AP下方的横坐标，不合题意舍去)，

当点P和点C重合时，连接NG'，过N作NH⊥G'H于H，

则△NHG'是直角三角形，如图5所示：

P(4，0)，AP的中点G'坐标为(2，)，

同理：NG'AP，

∴(x﹣2)2+(2x﹣3)2，

∴x(点N在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标)或x(点N在AP下方构成的四边形是矩形的横坐标，不合题意舍去)，

∴x，

当点N在l1上时，

点P和点B重合时，连接NG，过N作NH⊥AB于H，

则△NHG是直角三角形，如图6所示：

同理：(2﹣x)2+x2=4，

解得：x，∴0＜x，

当点P和点C重合时，N在AP的下方，不合题意，∴x的取值范围为：0＜x或x．