Question

（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．

（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．

（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．

Answer 1

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】压轴题．

【分析】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；

（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．

（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．

【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，

∵sinB==，

∴∠B=30°；

 

（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，

∴EA=FD=×边长=1，

∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，

∴A′D=AD=2，

∴=，

∴∠FA′D=30°，

可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，

∵A沿GD折叠落在A′处，

∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，

∴∠ADG===15°，

∵A′D=2，FD=1，

∴A′F==，

∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，

∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，

∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，

∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，

则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；

 

（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，

∴AO=AD=CB=CO，

∴DA=，

∵∠D=90°，

∴∠DCA=30°，

∵AB=CD=6，

在Rt△ACD中， =tan30°，

则AD=DC•tan30°=6×=2，

∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，

∴=tan30°=，

∴DF=AD=2，

∴DF=FO=2，

同理EO=2，

∴EF=EO+FO=4．

【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．