Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点，线段，线段，且，与的交点记为，连接．

（1）求的面积．

（2）如图2，在线段上有两个动点、（在点上方），且，点为中点，点为线段上一动点，当的值最小时，求出此时点的坐标；

（3）在（2）的条件下，在轴上找一点，轴上找一点，使得取得最小值，请求出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），（3）；

【解析】

（1）过点D作DP⊥AB于点P，则利用直角三角形的性质和勾股定理求出DP的长度，即可得到答案；

（2）根据题意，作点F关于BE的对称点H，过点H作HI∥BE，取HI=KG=，过点I作y轴的平行线，交AB于点J，交BE于点K，交CD于点P，此时得到最小值，由轴对称的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，求出BG的长度，然后求出BJ的长度，即可得到点P的坐标；

（3）如图，作点P关于y轴的对称点，作，交x轴于点M，交y轴于点H，则此时最小；由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出的长度，然后求出AM的长度，即可求出最小值.

解：（1）如图，过点D作DP⊥AB于点P，

∵，

∴，

在Rt△ADP中，AD=6，

∴AP=3，

由勾股定理，得

，

∴；

（2）如图，作点F关于BE的对称点H，过点H作HI∥BE，取HI=KG=，过点I作y轴的平行线，交AB于点J，交BE于点K，交CD于点P，此时得到最小值；

则四边形KGHI是平行四边形，

∴HG=IK=FG，HI=KG=，

在Rt△AOE中，∠OAE=60°，OA=2，

∴∠AEO=30°，

∴AE=2OA=4，

∴OE=，

在Rt△OBE中，OB=6，

∴，

∵，

∴△ABE是直角三角形，即AE⊥BE，

∴∠ABE=30°，∠FBG=90°，

∴∠BGH=∠BGF=60°，

∴∠BFG=30°，

∴，

∵点F为BC中点，

∴BF=3，

由勾股定理，得：，

∴，

∴，

在Rt△BJK中，∠ABE=30°，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴点P的坐标为：（3，）；

（3）如图，作点P关于y轴的对称点，作，交x轴于点M，交y轴于点H，则此时最小；

由轴对称的性质，得，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴；

∵AB∥CD，

∴四边形OMLQ是矩形，

∴OM=QL=，

∴AM=，

∴，

∴的最小值为.