Question

【题目】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于，两点，点是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上的一个动点，其横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，当线段的长度最大时，求的值及的最大值．

（3）在抛物线上是否存在异于、的点，使中边上的高为，若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，PM有最大值；（3）存在，理由见解析；，，，

【解析】

（1）先求得点、的坐标，再代入二次函数表达式即可求得答案；

（2）设点横坐标为，则，，求得PM关于的表达式，即可求解；

（3）设，则，求得，根据等腰直角三角形的性质，求得，即可求得答案.

（1），令，则，令，则，

故点、的坐标分别为、，

将、代入二次函数表达式为，

解得：，

故抛物线的表达式为：.

（2）设点横坐标为，则，，

，

当时，PM有最大值；

（3）如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，

设，则，

，

是等腰直角三角形，

，

，

当中边上的高为时，即，

，

，

当时，解得或，或，

当时，解得或，或，

综上可知存在满足条件的点，其坐标为，，，．