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【题目】如图,一个二次函数的图象经过点A01),它的顶点为B13).

1)求这个二次函数的表达式;

2)过点AACAB交抛物线于点C,点P是直线AC上方抛物线上的一点,当△APC面积最大时,求点P的坐标和△APC的面积最大值.

【答案】1y=﹣2x2+4x+1;(2SAPC最大值为,此时P(,)

【解析】

1)根据题意设这个二次函数的表达式为ya(x1)2+3,将A(0,1)代入解方程即可求解;

2)直线ABx轴交于点D,直线ACx轴交于点E,先求得直线AC的解析式,即可求得抛物线和直线AC的交点C的坐标,过PPQy轴交ACQ,根据抛物线解析式和直线AC的解析式设出PQ点坐标,横坐标用t表示,即可表示出PQ,根据SAPCPQ|xCxA|,得出关于t的二次函数,化为顶点式,即可得到当t为何值时,SAPC有最大值.

1)∵抛物线的顶点为B(1,3)

∴设这个二次函数的表达式为ya(x1)2+3

∵二次函数的图象经过点A(0,1)

a(01)2+3=1

解得:a=﹣2

∴二次函数的表达式为y-2(x1)2+3,即y=﹣2x2+4x+1

故答案为:y=﹣2x2+4x+1

2)直线ABx轴交于点D,直线ACx轴交于点E,如图所示

A(0,1)B(1,3)

设直线AB的解析式为y=kx+b

y=2x+1

2x+1=0

解得x=

OD=

ACAB

∴∠DAE=90°

解得OE=2

E(2,0)

设直线AC的解析式为ymx+n

∵直线AC经过A点,E

∴直线AC的解析式为yx+1

x+1=2x2+4x+1

解得:

C(,)

PPQy轴交ACQ

P(t,2t2+4t+1),则Q(t,t+1)

PQ(2t2+4t+1)(t+1)=﹣2t2+t

SAPCPQ|xCxA|(2t2+t)(0)=﹣(t)2+

∴当t时,SAPC有最大值,此时,P(,)

故答案为:SAPC最大值为,此时P(,)

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