【题目】如图,一个二次函数的图象经过点A(0,1),它的顶点为B(1,3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)过点A作AC⊥AB交抛物线于点C,点P是直线AC上方抛物线上的一点,当△APC面积最大时,求点P的坐标和△APC的面积最大值.
【答案】(1)y=﹣2x2+4x+1;(2)S△APC最大值为,此时P(,)
【解析】
(1)根据题意设这个二次函数的表达式为y=a(x﹣1)2+3,将A(0,1)代入解方程即可求解;
(2)直线AB与x轴交于点D,直线AC与x轴交于点E,先求得直线AC的解析式,即可求得抛物线和直线AC的交点C的坐标,过P作PQ∥y轴交AC于Q,根据抛物线解析式和直线AC的解析式设出P,Q点坐标,横坐标用t表示,即可表示出PQ,根据S△APC=PQ|xC﹣xA|,得出关于t的二次函数,化为顶点式,即可得到当t为何值时,S△APC有最大值.
(1)∵抛物线的顶点为B(1,3)
∴设这个二次函数的表达式为y=a(x﹣1)2+3
∵二次函数的图象经过点A(0,1)
∴a(0﹣1)2+3=1
解得:a=﹣2
∴二次函数的表达式为y=-2(x﹣1)2+3,即y=﹣2x2+4x+1
故答案为:y=﹣2x2+4x+1
(2)直线AB与x轴交于点D,直线AC与x轴交于点E,如图所示
∵A(0,1),B(1,3)
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴
∴y=2x+1
令2x+1=0
解得x=
∴OD=
,
∵AC⊥AB
∴∠DAE=90°
∴
∴
解得OE=2
∴E(2,0)
设直线AC的解析式为y=mx+n
∵直线AC经过A点,E点
∴
∴
∴直线AC的解析式为y=x+1
令x+1=﹣2x2+4x+1
解得:或
∴C(,)
过P作PQ∥y轴交AC于Q
设P(t,﹣2t2+4t+1),则Q(t,t+1)
∴PQ=(﹣2t2+4t+1)﹣(t+1)=﹣2t2+t
∴S△APC=PQ|xC﹣xA|=(﹣2t2+t)(﹣0)=﹣(t﹣)2+
∴当t=时,S△APC有最大值,此时,P(,)
故答案为:S△APC最大值为,此时P(,)
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【题目】如图,在矩形中,,,P是矩形内一点,沿、、、把这个矩形剪开,然后把两个阴影三角形拼成一个四边形,则这个四边形的面积为_________;这个四边形周长的最小值为________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系,相似比为1:3,∠ACB=∠CED=90°,A、C、E是x轴正半轴上的点,B、D是第一象限的点,BC=2,则点D的坐标是( )
A.(9,6)B.(8,6)C.(6,9)D.(6,8)
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是DA、BC延长线上的点,且∠ABE=∠CDF.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形EBFD是平行四边形.
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【题目】新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度,数据整理结果如下表(数据分组包含左端值不包含右端值)
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由.
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少?
(3)该校共有800名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3,估计参与度在0.4以下的共有多少人?
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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD和∠BCD的平分线AE,CF分别交DC,BA的延长线于点E,F,交边BC,AD于点H,G.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若AB=5,BC=8,求AF+AG的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=4,将∠A向内翻析,点A落在BC上,记为A1,折痕为DE.若将∠B沿EA1向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B1,则AB=_____.
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