Question

数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a-b|．

根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、-1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为

 

； 
②若该两点之间的距离为2，那么x值为

 

．
（2）|x+1|+|x-2|的最小值为

 

，此时x的取值是

 

；
（3）已知（|x+1|+|x-2|）（|y-3|+|y+2|）=15，求x-2y的最大值

 

和最小值

 

．

Answer 1

考点：绝对值,数轴

专题：

分析：（1）①根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为|AB|=|a-b|．即可解答；
②使①中的式子等于2，解出即可；
（2）求|x+1|+|x-2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值；
（3）由于（|x+1|+|x-2|）（|y-3|+|y+2|）=15=3×5，可知-1≤x≤2，-2≤y≤3，依此得到x-2y的最大值和最小值．

解答：解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|； 
②依题意有
|x+1|=2，
x+1=-2或x+1=2，
解得x=-3或x=1．
故x值为-3或1．
（2）|x+1|+|x-2|的最小值为3，此时x的取值是-1≤x≤2；
（3）∵（|x+1|+|x-2|）（|y-3|+|y+2|）=15，
∴-1≤x≤2，-2≤y≤3，
∴x-2y的最大值为2-2×（-2）=6，最小值为-1-2×3=-7．
故x-2y的最大值6，最小值-7．
故答案为：|x+1|；-3或1；3，-1≤x≤2；6，-7．

点评：考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（2）（3）这两道难题．