Question

已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD；

（2）若S_△FCD=5，BC=10，求DE的长．

　

Answer 1

考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积． 

专题： 几何综合题．

分析： （1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；

（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．

解答： （1）证明：∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD．

∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，

∴EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB．

∴△ABC∽△FCD；

（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴=．

∵S_△FCD=5，

∴S_△ABC=20．

又∵S_△ABC=×BC×AM，BC=10，

∴AM=4．

又DM=CM=CD，DE∥AM，

∴DE：AM=BD：BM=，

∴DE=．

点评： 此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．