Question

在△ABC中，∠ACB=90°．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．

（1）若∠ABC=45°，CD=1（如图），则AE的长为　　　　　　；

（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；

（3）若直线CE、AB交于点F，，CD=4，求BD的长．

　

Answer 1

 

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）首先在直角三角形CDB中利用CD求得BC，然后在直角三角形ABC中求得AE即可；

（2）根据上题得到的结论猜想两条线段之间具有二倍关系，证得△GCD∽△GAE后即可证明猜想正确．

（3）分当点F在线段AB上时和点F在线段BA的延长线上时利用△AGH∽△AEB求得线段BD的长即可．

【解答】（1）解：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∵∠ABC=45°，

∴∠CBD=45°，

∵CD=1，

∴BC=，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，

AE=2．

 

（2）线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD．

证明：如图1，延长AC与直线l交于点G．

依题意，可得∠1=∠2．

∵∠ACB=90°，

∴∠3=∠4．

∴BA=BG．∴CA=CG．…

∵AE⊥l，CD⊥l，

∴CD∥AE．

∴△GCD∽△GAE．

∴．

∴AE=2CD．

 

（3）解：当点F在线段AB上时，如图2，

过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G．

∴∠2=∠HCB．

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠HCB．

∴CH=BH．

∵∠ACB=90°，

∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．

∴∠3=∠4．

∴CH=AH=BH．

∵CG∥l，

∴△FCH∽△FEB．

∴．

设CH=5x，BE=6x，则AB=10x．

∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x．

由（2）得，AE=2CD．

∵CD=4，

∴AE=8．

∴x=1．

∴AB=10，BE=6，CH=5．

∵CG∥l，

∴△AGH∽△AEB．

∴．

∴HG=3．…

∴CG=CH+HG=8．

∵CG∥l，CD∥AE，

∴四边形CDEG为平行四边形．

∴DE=CG=8．

∴BD=DE﹣BE=2．…

当点F在线段BA的延长线上时，如图3，

同理可得CH=5，GH=3，BE=6．

∴DE=CG=CH﹣HG=2．

∴BD=DE+BE=8．

∴BD=2或8．

【点评】本题考查了相似形综合知识，题目中还涉及到了相似三角形的判定与性质及解直角三角形的知识，难度较大，此类题目应重点掌握．