Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD与过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BC，若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）证明：连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，则AD∥OC，根据平行线的性质有∠2=∠3，加上∠1=∠3，所以∠1=∠2，因此可判断AC平分∠DAB；
（2）根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BC=

1

2

AB=6，AC=

3

BC=6

3

，然后在Rt△ADC中计算出CD．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠1=30°，
∴BC=

1

2

AB=6，
∴AC=

3

BC=6

3

，
在Rt△ADC中，∵∠2=∠1=30°，
∴CD=

1

2

AC=3

3

（cm）．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了平行线的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．