【题目】如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.如果一条直线与果圆只有一个交点,则这条直线叫做果圆的切线.已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点,E为半圆的圆心,抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,AC为半圆的直径.
(1)分别求出A、B、C、D四点的坐标;
(2)求经过点D的果圆的切线DF的解析式;
(3)若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M,求△OBM的面积.
【答案】(1)(0,);(2)y=x+;(3).
【解析】
试题分析:(1)连接DE,根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B、C的坐标,根据题意求出半圆的直径,根据勾股定理求出OD的长,得到点D的坐标;
(2)根据射影定理求出EF的长,得到点F的坐标,运用待定系数法求出经过点D的果圆的切线DF的解析式;
(3)根据切线的性质得到经过点B的果圆的切线与抛物线只有一个公共点,根据一元二次方程的判别式解答即可求出点M的坐标,根据三角形的面积公式计算即可.
解:(1)连接DE,
∵y=x2﹣2x﹣3,
∴x=0时,y=﹣3,
y=0时,x1=﹣1,x2=3,
∴点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(0,﹣3),点C的坐标为(3,0),
∵AC=4,
∴AE=DE=2,
∴OE=1,
∴OD==,
∴D点的坐标为(0,);
(2)∵DF是果圆的切线,
∴ED⊥DF,又DO⊥EF,
∴DE2=EOEF,
∴EF=4,则OF=3,
∴点F的坐标为(﹣3,0),
设经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=kx+b,
则,
解得.
∴经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=x+;
(3)设经过点B的果圆的切线的解析式为:y=ax+c,
∵点B的坐标为(0,﹣3),
∴经过点B的果圆的切线的解析式为:y=ax﹣3,
由题意得,方程组只有一个解,
即一元二次方程x2﹣(a+2)x=0有两个相等的实数根,
△=(a+2)2﹣4×1×0=0,
解得a=﹣2,
∴经过点B的果圆的切线的解析式为:y=﹣2x﹣3,
当y=0时,x=﹣,
∴点M的坐标为(﹣,0),即OM=,
∴△OBM的面积=×OM×OB=.
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【题目】如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.
(1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明)
答:结论一: ;
结论二: ;
结论三: .
(2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),
①求CE的最大值;
②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.
(注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)
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【题目】如图,已知⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,AC平分∠BAD,CD⊥AD于D,AD交⊙O于E.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若⊙O的直径为8cm,CD=2cm,求弦AE的长.
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【题目】如图,将圆心角都是90°的扇形OAB和扇形OCD叠放在一起,连接AC、BD.
(1)将△AOC经过怎样的图形变换可以得到△BOD?
(2)若的长为πcm,OD=3cm,求图中阴影部分的面积是多少?
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【题目】将抛物线y=2x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是( )
A.y=2x2+3
B.y=2x2+1
C.y=2(x+1)2+2
D.y=2(x﹣1)2+2
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