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【题目】如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.如果一条直线与果圆只有一个交点,则这条直线叫做果圆的切线.已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点,E为半圆的圆心,抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,AC为半圆的直径.

(1)分别求出A、B、C、D四点的坐标;

(2)求经过点D的果圆的切线DF的解析式;

(3)若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M,求OBM的面积.

【答案】(1)(0,);(2)y=x+(3)

【解析】

试题分析:(1)连接DE,根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B、C的坐标,根据题意求出半圆的直径,根据勾股定理求出OD的长,得到点D的坐标;

(2)根据射影定理求出EF的长,得到点F的坐标,运用待定系数法求出经过点D的果圆的切线DF的解析式;

(3)根据切线的性质得到经过点B的果圆的切线与抛物线只有一个公共点,根据一元二次方程的判别式解答即可求出点M的坐标,根据三角形的面积公式计算即可.

解:(1)连接DE,

y=x2﹣2x﹣3,

x=0时,y=﹣3,

y=0时,x1=﹣1,x2=3,

点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(0,﹣3),点C的坐标为(3,0),

AC=4

AE=DE=2

OE=1,

OD==

D点的坐标为(0,);

(2)DF是果圆的切线,

EDDF,又DOEF

DE2=EOEF,

EF=4,则OF=3,

点F的坐标为(﹣3,0),

设经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=kx+b,

解得

经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=x+

(3)设经过点B的果圆的切线的解析式为:y=ax+c,

点B的坐标为(0,﹣3),

经过点B的果圆的切线的解析式为:y=ax﹣3,

由题意得,方程组只有一个解,

即一元二次方程x2﹣(a+2)x=0有两个相等的实数根,

=(a+2)2﹣4×1×0=0,

解得a=﹣2,

经过点B的果圆的切线的解析式为:y=﹣2x﹣3,

当y=0时,x=﹣

点M的坐标为(﹣,0),即OM=

∴△OBM的面积=×OM×OB=

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答:结论一:

结论二:

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