【题目】如图,点E是正方形ABCD的对角线BD上一点,并且AD=DE,过点E作EF⊥BD交AB于点F.
(1)求证:AF=BE,(2)若正方形的边长为1,求BF的长度.
【答案】(1)见解析;(2)2-.
【解析】
(1)先证Rt△AFD≌Rt△EFD,则EF=AF,再由正方形的性质得出∠EBF=45°,可得△BFE是等腰直角三角形,则BE=EF,即可得出结论;
(2)根据勾股定理求出BD=,由AD=DE可得BE= -1,由AF=BE,AB=1即可得BF的长度.
证明:(1)如图,连接DF,
∵正方形ABCD,
∴AB=DC=BC=AD
∴∠A=∠ ABC=∠ C=∠ ADC=90°
∵EF⊥BD
∴∠DEF=∠ BEF=90°
∴∠A=∠ DEF
在Rt△AFD与Rt△EFD中
∵AD=ED,DF=DF
∴Rt△AFD≌Rt△EFD(HL)
∴EF=AF
∵四边形ABCD是正方形
∴∠EBF=45°
∴∠BFE=90°-∠EBF=45°
∴∠EBF=∠ EFB
∴BE=EF
∴AF=BE.
(2)由(1)知,AF=EF=BE,AB=DC=BC=AD=1,
∴BD= = ,
∵AD=DE
∴BE=BD-DE=-1,
∴AF=BE=-1,
∴BF=AB-AF=1-(-1)=2-.
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【题目】二次函数的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其顶点坐标为(,﹣2);⑤当x<时,y随x的增大而减小;⑥a+b+c>0正确的有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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【题目】如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)如果点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°.
①求证:△ABP∽△BCP;
②若PA=3,PC=4,则PB= .
(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P点.如图(2)
①求∠CPD的度数;
②求证:P点为△ABC的费马点.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出以下结论:①abc<0 ②b2﹣4ac>0 ③4b+c<0 ④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2⑤当﹣3≤x≤1时,y≥0,
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)__________________.
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【题目】如图1,图2,图3,图4均为8×8的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,图中均有线段AB.按要求画图.
(1)在图1中,以格点为顶点,AB为腰画一个锐角等腰三角形;
(2)在图2中,以格点为顶点,AB为底边画一个锐角等腰三角形.
(3)在图3中,以格点为顶点,AB为腰画一个等腰直角三角形;
(4)在图4中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形.
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【题目】抛物线过点和,点P为x轴正半轴上的一个动点,连接AP,在AP右侧作,且,点B经过矩形AOED的边DE所在的直线,设点P横坐标为t.
求抛物线解析式;
当点D落在抛物线上时,求点P的坐标;
若以A、B、D为顶点的三角形与相似,请直接写出此时t的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),△AOB为等边三角形,P是x轴上一个动点(不与原点O重合),以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.
(1)求点B的坐标.
(2)在点P运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?若不改变,求出其大小;若改变,请说明理由.
(3)连接OQ,当OQ∥AB时,求点P的坐标.
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【题目】乘法公式的探究及应用.
数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,种纸片边长为的正方形,种纸片是边长为的正方形,种纸片长为、宽为的长方形,并用种纸片一张,种纸片一张,种纸片两张拼成如图2的大正方形.
(1)观察图2,请你写出下列三个代数式:,,之间的等量关系.;
(2)若要拼出一个面积为的矩形,则需要号卡片1张,号卡片2张,号卡片 张.
(3)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:,,求的值;
②已知,求的值.
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【题目】在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售价x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?
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