Question

学习《分式》时，课本上这样一个问题：“当a的值分别为0.01、0.1、1、10、100时，求分式

1

a

的值．随a的值变化，

1

a

的值是如何变化的？
（1）在如下表格中，随着a的值的增加，

1

a

的值在

 

（填“增加”或“减小”）．

a	0.01	0.1	1	10	100
1 a	100	10	1	0.1	0.01

（2）学习《反比例函数》时，课本上又出现了如下问题：“点P（a₁，b₁）、Q（a₂，b₂）在反比例函数y=

1

x

图象上，且a₁＜a₂．试比较b₁、b₂的大小．”
小明觉得，比较b₁、b₂的大小，就是比较

1

a1

和

1

a2

的大小，类比第（1）问，可得“b₁＞b₂”，对于这个结论，你怎么看？请你结合所给函数图象，进行分析．
（3）还有一种常见的比较大小的方法：“作差法”．例如，若A-B＞0，则A＞B…请用作差法，比较当a₁＜a₂时，

1

a1

和

1

a2

的大小．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：数形结合,分类讨论

分析：（1）结合表格可知：随着a的值的增加，

1

a

的值在减小；
（2）虽然a₁＜a₂，但a₁、a₂的正负并不确定，故需分三种情况（①0＜a₁＜a₂，②a₁＜a₂＜0，③a₁＜0＜a₂）讨论，然后结合图象就可解决问题；
（3）运用作差法可得

1

a1

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

，然后只需考虑分子、分母的符号就可解决问题．

解答：解：（1）结合表格可知：随着a的值的增加，

1

a

的值在减小，
故答案为：减小；                                                 

（2）小明的结论不全面，如图1、图2、图3．

①如图1，当0＜a₁＜a₂时，b₁＞b₂；
②如图2，当a₁＜a₂＜0时，b₁＞b₂；
③如图3，当a₁＜0＜a₂时，b₁＜b₂．                                  

（3）

1

a1

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

．
当a₁＜a₂时，a₂-a₁＞0．
①当a₁＜a₂＜0时，

a2-a1

a1a2

＞0，所以

1

a1

＞

1

a2

；
②当0＜a₁＜a₂时，

a2-a1

a1a2

＞0，所以

1

a1

＞

1

a2

；
③当a₁＜0＜a₂时，

a2-a1

a1a2

＜0，所以

1

a1

＜

1

a2

．

点评：本题主要考查了反比例函数的图象与性质，运用分类讨论及数形结合的思想是解决第（2）小题的关键，运用作差法是解决第（3）小题的关键．