Question

已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AD的长；
（3）求△ABC的周长．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明∠BDC=90°，进而得到CD⊥AB；
（2）设AD=xcm，则AB=AC=（x+12）cm，再利用勾股定理可得x²+16²=（x+12）²，解方程可得x的值，即可求出AD的长；
（3）由（2）进而得到AB长，然后即可算出周长．

解答：解：（1）∵12²+16²=20²，
∴DB²+CD²=BC²，
∴△BCD是Rt△，且∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）设AD=xcm，则AB=AC=（x+12）cm，
∵∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴x²+16²=（x+12）²，
解得：x=

14

3

，
即AD的长为

14

3

；
（3）∵AD=

14

3

，
∴AC=AB=BD+AD=

50

3

，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=

50

3

×2+20=53

1

3

．

点评：此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．