【题目】如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;
(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2+2x;(2)D1(-1,-1),D2(-3,3),D3(1,3);(3)存在,P(,)或(3,15).
【解析】
(1)根据抛物线过A(2,0)及原点可设y=a(x-2)x,然后根据抛物线y=a(x-2)x过B(3,3),求出a的值即可;
(2)首先由A的坐标可求出OA的长,再根据四边形AODE是平行四边形,D在对称轴直线x=-1右侧,进而可求出D横坐标为:-1+2=1,代入抛物线解析式即可求出其横坐标;
(3)分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM,从而表示出点P的坐标,代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值,从而确定点P的坐标.
解:(1)根据抛物线过A(-2,0)及原点,可设y=a(x+2)(x-0),
又∵抛物线y=a(x+2)x过B(-3,3),
∴-3(-3+2)a=3,
∴a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x+2)x=x2+2x;
(2)①若OA为对角线,则D点与C点重合,点D的坐标应为D(-1,-1);
②若OA为平行四边形的一边,则DE=OA,∵点E在抛物线的对称轴上,
∴点E横坐标为-1,
∴点D的横坐标为1或-3,代入y=x2+2x得D(1,3)和D(-3,3),
综上点D坐标为(-1,-1),(-3,3),(1,3).
(3)∵点B(-3,3)C(-1,-1),
∴△BOC为直角三角形,∠COB=90°,且OC:OB=1:3,
①如图1,
若△PMA∽△COB,设PM=t,则AM=3t,
∴点P(3t-2,t),
代入y=x2+2x得(-2+3t)2+2(-2+3t)=t,
解得t1=0(舍),t2=,
∴P(,);
②如图2,
若△PMA∽△BOC,
设PM=3t,则AM=t,点P(t-2,3t),代入y=x2+2x得(-2+t)2+2(-2+t)=3t,
解得t1=0(舍),t2=5,
∴P(3,15)
综上所述,点P的坐标为(,)或(3,15).
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【题目】因“抗击疫情”需要,学校决定再次购进一批医用一次性口罩及KN95口罩共1000只,已知1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元;3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元.问:
(1)一只医用一次性口罩和一只KN95口罩的售价分别是多少元?
(2)参照上次购买获得的需求情况后,校长给出了一条建议:医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍,请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与双曲线相交于点.
求双曲线的表达式;
过动点且垂直于x轴的直线与直线及双曲线的交点分别为B和C,当点B位于点C下方时,求出n的取值范围.
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【题目】已知中,D、E分别在AB、AC上,下列条件中,能推断与相似的有( )个
①∠BDE+∠C=180°;②;③;④∠A=90°,且
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,某地有甲、乙两栋建筑物,小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°,走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为60°,已知AB=6m,DE=10m.求乙楼的高度AC的长.(参考数据:,,精确到0.1m.)
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【题目】2019年12月以来,湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例,现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎,其传染性较强.为了有效地避免交叉感染,需要采取以下防护措施:①戴口罩;②勤洗手;③少出门;④重隔离;⑤捂口鼻;⑥谨慎吃.某公司为了解员工对防护措施的了解程度(包括不了解、了解很少、基本了解和很了解),通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查(每名员工必须且只能选择一项),并将调查结果绘制成如下两幅统计图.
请你根据上面的信息,解答下列问题
(1)本次共调查了_______名员工,条形统计图中________;
(2)若该公司共有员工1000名,请你估计不了解防护措施的人数;
(3)在调查中,发现有4名员工对防护措施很了解,其中有3名男员工、1名女员工.若准备从他们中随机抽取2名,让其在公司群内普及防护措施,求恰好抽中一男一女的概率.
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【题目】某商场经营一种商品,进价是每千克30元,根据市场调查发现,每日的销售量(千克)与售价(元/千克)满足一次函数关系,下表记录的是某两日的有关数据:
(1)求与的函数关系式;
(2)在销售过程中销售单价不低于成本价,且不高于80元,某日该商场出售这种商品获得了14000元的利润,求该商品的售价?
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【题目】如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的弦心距等于 .
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【题目】在滑草过程中,小明发现滑道两边形如两条双曲线,如图,点A1,A2,A3…在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B1,B2,B3…反比例函数y=(k>1,x>0)的图象上,A1B1∥A2B2…∥y轴,已知点A1,A2…的横坐标分别为1,2,…,令四边形A1B1B2A2、A2B2B3A3、…的面积分别为S1、S2、….若S19=39,则k=__.
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