Question

15．（1）观察探索：
$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}}$=$\sqrt{\frac{4×2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$，即$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$；
$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=$\sqrt{\frac{27}{10}}$=$\sqrt{\frac{9×3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$，即$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$
（2）大胆猜想：$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$等于多少？
（3）灵活运用：再举一个例子并通过计算验证：猜想并写出一般表达式．

Answer 1

分析 （1）观察已知等式，做出探索；
（2）根据已知等式做出猜想即可；
（3）举一个例子，验证，归纳总结得到一般性规律，写出即可．

解答 解：（1）观察探索：
$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}}$=$\sqrt{\frac{4×2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$，即$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$；
$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=$\sqrt{\frac{27}{10}}$=$\sqrt{\frac{9×3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$，即$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$；
（2）根据题意猜想得：$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$=5$\sqrt{\frac{5}{26}}$；
（3）$\sqrt{6-\frac{6}{37}}$=$\sqrt{\frac{6×37-6}{37}}$=$\sqrt{\frac{6×36}{37}}$=6$\sqrt{\frac{6}{37}}$，得到一般性规律为$\sqrt{n-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}+1}}$（n为正整数）．

点评 此题考查了算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．