Question

6．如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，OA=4，且OA，OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM．
（1）求⊙M的半径；
（2）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线；
（3）求线段ON的长．

Answer 1

分析 （1）由OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB为⊙M的直径，即可得到⊙M的半径．
（2）连MD，OC，由OB为⊙M的直径，得∠OCB=90°，则∠OCD=90°，由于D为OA的中点，所以CD=$\frac{1}{2}$OA=OD，因此可证明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切线；
（3）利用∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°证得△NOM∽△NCD，然后根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．

解答 解：（1）OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，
得OB=3，
故⊙M的半径为1.5；

（2）∵BM=CM=1.5，
∴∠OBA=∠BCM．
连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点
∴OD=AD=CD=2，
∴∠OAC=∠ACD，
又∠OAC+∠OBA=90°，
∴∠BCM+∠ACD=90°，
∴∠NCD=90°，
∴CD是⊙M的切线．

（3）由题得∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，
∴△NOM∽△NCD，
∴$\frac{NO}{NC}$=$\frac{OM}{CD}$，即$\frac{NO}{\sqrt{（NO+2）^{2}-{2}^{2}}}$=$\frac{15}{2}$，
∴NO=$\frac{36}{7}$．

点评 本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了直径所对的圆周角为90度，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形全等的判定和性质．