Question

【题目】阅读下列材料，解决提出的问题：

最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．

如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．

为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．

任务：

数学思考

（1）材料中划线部分的依据是　 　．

（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是　 　．（填字母代号即可）

A．转化思想

B．分类讨论思想

C．整体思想

迁移应用

（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）A；（3）4

【解析】

（1）依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；

（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想；

（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，推出PB+PD＝PB+PD′，根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长；

（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；

故答案为：两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；

（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，

故答案为A．

（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．

作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，

∴PB+PD＝PB+PD′，

根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，

∵BC＝CB′，AC⊥BB′，

∴AB＝AB′，

∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，

∴∠BAH＝30°，

在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，

∴BH＝AB＝4cm，

∴PB+PD的最小值为4cm．

故答案为4．