Question

已知△ABC中，点E为AB边的中点，将△AEC沿CE所在直线折叠得△A′EC，BF∥AC交直线A′C于F，如图（1）当△ACB=90°，易证AC=CF+BF．

（1）若∠ACB为任意角，如图（2）、图（3），猜想线段AC、CF、BF之间有怎样的数量关系并证明图（3）结论：
（2）若∠CBF=60°，BF=4，BC=6，则AC的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）连接A′B，易证∠FBA=∠A，可得∠FBA=∠EA′F，易证∠EA′B=∠EBA′，即可证明∠FBA′=∠FA′B，即可解题；
（2）根据余弦定理可以求得CF的长，根据（1）中结论即可解题．

解答：（1）证明：连接A′B，

∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠A，
∵∠A=∠EA′F（折叠），
∴∠FBA=∠EA′F，
∵E为AB中点，
∴AE=EB，
∵A'E=AE，
∴A'E=EB，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵∠EBF=∠EA′F，∠EA′B-∠EA′F=∠EBA′-∠EBF，
∴∠FBA′=∠FA′B．
∴FB=FA′，
∴FB+CF=AC；
（2）解：∵∠CBF=60°，BF=4，BC=6，CF²=BF²+BC²-2BC•BFcos∠CBF，
∴CF=2

7

，
∴AC=CF+BF=2

7

+4．
故答案为 2

7

+4．

点评：本题考查了等腰三角形底角相等的性质，考查了余弦定理的运用，考查了折叠的性质，本题中求证AF=BF是解题的关键．