Question

【题目】已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋mx＋n的图像上，当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．

（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1＞b2，则实数a的取值范围是（ ）

A．a＜1 B．a＞3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a＜3

（2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．

（3）若对于任意实数x1、x2都有y1＋y2≥2，则n的范围是 ．

Answer 1

【答案】（1）C（2）y＝x2－4x＋4（3）n≥5

【解析】

（1）利用二次函数的性质，由于x1=1、x2=3时，y1=y2，点P到直线x=2的距离比点Q到直线x=2的距离要大，于是可得到a<1或a>3；

（2）先求出m的值，利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=2，则根据抛物线对称轴方程得到m=-4，再代入二次函数.

(3) 由于对于任意实数x1、x2都有y1＋y2≥2，则判断二次函数的最小值大于或等于1，根据顶点坐标公式得到 ,然后解不等式即可．

（1）利用二次函数的性质，由于x1=1、x2=3时，y1=y2，点P到直线x=2的距离比点Q到直线x=2的距离要大，于是可得到a<1或a>3；故选C

（2）解：∵ 当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2，

∴ 点A与点B为抛物线上的对称点，

∴ 抛物线的对称轴为直线x＝2，

即 －＝2，∴ m＝－4．

∵ 抛物线与x轴只有一个公共点，

∴ m2－4n＝0，∴ n＝4，

∴ 二次函数的表达式为y＝x2－4x＋4．

（3）由于对于任意实数x1、x2都有y1＋y2≥2，则判断二次函数的最小值大于或等于1，根据顶点坐标公式得到 ,即n≥5