Question

如图，在等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=6，∠ABC的平分线交AC于点D，M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：过点A作AN⊥BC于N交BD于M，根据轴对称和由垂线段最短确定最短路线问题，AN的长度即为BM+MN的最小值，求得△ANC∽△BDC，根据相似三角形对应边成比例求解即可．

解答：解：如图，由垂线段最短，过点A作AN⊥BC于N交BD于M，AN最短，
∵△ABC是等腰三角形，BD是∠ABC的平分线，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
由轴对称性质，AM=CM，
∴CM+MN=AM+MN=AN，
∵BD⊥AC，AD=DC，
∴DC=3，
∴BD=

52-32

=4，
∵∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，
∴△ANC∽△BDC，
∴

AN

BD

=

AC

BC

，即

AN

4

=

6

5

，解得AN=

24

5

，
∴CM+MN的最小值是

24

5

．
故答案为：

24

5

．

点评：本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．