Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切．

Answer 1

【答案】或

【解析】

如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．

如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，

连接FH，则HF⊥AC，

∴DF＝HF，

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝＝，

∴AC＝4，AB＝5，

将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，

∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，

∵FH⊥AC，CD⊥AC，

∴FH∥CD，

∴△EFH∽△EDC，

∴＝，

∴＝，

解得：DF＝；

如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，

∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC

∴∠AHE＝90°，

∴点H为切点，DH为⊙F的直径，

∴△DEC∽△DBH，

∴＝，

∴＝，

∴DH＝，

∴DF＝，

综上所述，当FD＝或时，⊙F与Rt△ABC的边相切，

故答案为：或．