Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接OD．

（1）过点C作射线CF交BA的延长线于点F，且使得∠ECF=∠AOD；（要求尺规作图，不写作法）

（2）求证：CF是⊙O的切线；

（3）若OE：AE=1：2，且AF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）3

【解析】

（1）连接OC，根据尺规作图方法，作∠ECF=∠AOD，交BA的延长线于点F即可.

(2)通过证明∠OCF=90°即可.

（3），由OE：AE=1：2可知OA=3AE，由△OCE∽△OFC可知OF=3OC，可求出OE的长度进而求出OA即可.

（1）解：如图直线CF即为所求；

（2）∵OC=OD

∴∠OCE=∠ODE

∵CD⊥AB

∴∠DOE+∠ODE=90°

∵∠ECF=∠AOD，∠OCE=∠ODE

∴∠OCE+∠ECF=90°，即∠OCF=90°，

∴直线CF是⊙O的切线．

（3）解：设OE=a，则AE=2a，OC=OA=3a．

∵△OCE∽△OFC，

∴

∴OF=3OC，

∴6+3a=9a，

∴a=1，

∴OC=3．