【题目】如图,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=3 ﹣3,CD∥AB,并与弧AB相交于点M、N.
(1)求线段OD的长;
(2)若sin∠C= ,求弦MN的长;
(3)在(2)的条件下,求优弧MEN的长度.
【答案】
(1)解:∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA
∵CD∥AB∴∠OAB=∠C,∠D=∠OBA
∴∠C=∠D,
∴OD=OC=OA+AC=3 ;
(2)解:过O作OE⊥CD,连接OM,则ME= MN,
∵tan∠C= ,即 = ,
∴设OE=x,则CE=2x,
在Rt△OEC中,OC2=OE2+CE2,即(3 )2=x2+(2x)2,解得x=
在Rt△OME中,OM2=OE2+ME2,即32=( )2+ME2,解得ME= ,
∴由垂径定理得MN=3;
(3)解:由(2)可得△OMN是等边三角形,
∴∠MON=60°
∴优弧MEN的长度= =5π.
【解析】(1)根据CD∥AB,OA=OB,推出∠C=∠D,根据等腰三角形的判定证得OD=OC即可;(2)过O作OE⊥CD,连接OM,由垂径定理可知ME= MN,再根据tan∠C= 可求出OE的长,利用勾股定理即可求出ME的长,进而求出答案;(3)由(2)可得△OMN是等边三角形,即∠MON=60°,由弧长公式即可得到结论.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中.顶点为(﹣4,﹣1)的抛物线交y轴于点A(0,3),交x轴于B,C两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点P是抛物线上位于B,C两点之间的一个动点,问:当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?并求出此时四边形ABPC的面积.
(3)过点B作AB的垂线交抛物线于点D,是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆?若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由.
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【题目】阅读理解
抛物线y=x2上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题.
问题解决
如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x2的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=﹣1的垂线,交于E,F两点.
(1)写出点C的坐标,并说明∠ECF=90°
(2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.
①求证:PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(x>0)的图象交矩形OABC的边AB于点D,交边BC于点E,且BE=2EC.若四边形ODBE的面积为6,则k= .
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【题目】近年来,“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注,为此,某校随机调查了若干名学生对此问题的看法(看法分为三种:没有影响,影响不大,影响很大),并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图:
学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表
看法 | 没有影响 | 影响不大 | 影响很大 |
学生人数 | 100 | 60 | m |
根据以上图表信息,解答下列问题:
(1)统计表中的m= ;
(2)统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为 度;
(3)从这次接受调查的学生中随机调查一人,恰好是持“影响很大”看法的概率是多少?
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【题目】下列命题中是真命题的是( )
A.经过直线外一点,有且仅有一条直线与一线与已知直线垂直
B.平分弦的直径垂直于弦
C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D.反比例函数y= ,当k<0时,y随x的增大而增大
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2),交x轴于A,B两点,交y轴于C,则:
①a+c=0;
②无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点,函数图象截x轴所得的线段长度必大于2;
③当函数在x< 时,y随x的增大而减小;
④当﹣1<m<n<0时,m+n< ;
⑤若a=1,则OAOB=OC2 .
以上说法正确的有( )
A.①②③④⑤
B.①②④⑤
C.②③④
D.①②③⑤
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【题目】如图边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形,EF与GH交于点P
(1)若AG=AE,证明:AF=AH;
(2)若矩形PFCH的面积,恰矩形AGPE面积的两倍,试确定∠HAF的大小;
(3)若矩形EPHD的面积为 ,求Rt△GBF的周长.
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【题目】如图,在锐角△ABC中,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
(1)求证: = ;
(2)设EF的长为x.
①当x为何值时,矩形EFPQ为正方形?
②当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值.
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