Question

【题目】如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与重合），过点作垂直交于点，连结．下列四个结论：①；②；③；④若，则的最小值是1．其中正确结论是（ ）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC,△AON≌△BOM，△OCM≌△OBN，,根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．

∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90，

∴∠BCN＋∠DCN＝90，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM＋∠DCN＝90，

∴∠BCN＝∠CDM，

又∵∠CBN＝∠DCM＝90，

∴△CNB≌△DMC（ASA），

∴BN=CM,

故AN=BM

∵AO=BO，∠OAN＝∠OBM=45°，

∴△AON≌△BOM，

∵BO=CO，∠OCM＝∠OBN =45°，

∴△OCM≌△OBN，

∴=S△OBN+ S△BOM= S△OBN+S△AON=S△AOB=

即，①正确；

∵△AON≌△BOM，

∵∠MON＝∠BOM+∠BON=∠AON +∠BON=90°，ON=OM

∴△MNO是等腰直角三角形，

∴MN=

∵△MNB是直角三角形，

∴

又CM=BN

∴

即，②正确；

∵∠CON＝90°+∠BON, ∠DOM＝90°+∠COM，∠BON=∠COM

∴∠CON＝∠DOM

又CO=DO, ON=OM,

∴，③正确；

④∵AB＝2，

∴S正方形ABCD＝4，

∵△OCM≌△OBN，

∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，

∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，

设BN＝x＝CM，则BM＝2x，

∴△MNB的面积＝x（2x）＝ x2＋x＝ （x1）2＋，

∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，

此时S△OMN的最小值是1 ＝，

故④不正确；