Question

实数k为何值时，方程x²+（2k-1）x+1+k²=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：

分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．

解答：解：设方程的两根分别为x₁和x₂，由一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=-(2k-1)，x1x2=1+k2，
令y=

x

2 1

+x

2 2

，则y=(x1+x2)2-2x1x2=（2k-1）²-2（1+k²）=2k²-4k-1=2（k-1）²-3，
其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，
但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=-7＜0，
所以没有满足△≥0的k的值，
所以该题目无解．

点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．