Question

【题目】如图1，△ABC内接于圆，点D在劣弧上，AD＝BC，DC＝AB，Q为AC中点，点D与点P关于点Q对称．

（1）求证：△PAD∽△ABC．

（2）求证：点B，P，D在一条直线上．

（3）如图2，记∠PAB＝α，∠PCB＝β，∠ABC＝θ，请用含α，β的代数式表示θ．

（4）如图3，设E，F分别为AB，BC的中点，EF交BD于点H，求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）θ＝90°﹣﹣；（4）

【解析】

（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形APCD是平行四边形，可得AP＝CD，AP∥CD，可证∠PAD＝∠B，即可证△PAD∽△ABC；

（2）由相似三角形的性质可得∠ACB＝∠ADP，又由∠ACB＝∠ADB，可得∠ADP＝∠ADB，可证点B，P，D在一条直线上；

（3）由外角性质可得∠APD+∠CPD＝∠ABP+∠BAP+∠CBP+∠PCB＝α+β+θ，由平行四边形的性质和圆的内接四边形的性质可得180°﹣∠ABC＝α+β+θ，即可求解；

（4）根据题意连接EP，FP，由角的数量关系可求∠EPF＝90°，通过相似三角形的判定和性质可证EH＝HF，由直角三角形的性质可求PH＝EF＝AC，即可求解．

解：（1）∵点Q为AC中点，点D与点P关于点Q对称，

∴AQ＝QC，PQ＝QD，

∴四边形APCD是平行四边形，

∴AP＝CD，AP∥CD，

∴∠PAD+∠ADC＝180°，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠PAD＝∠B，

又∵，

∴△PAD∽△ABC.

（2）连接BD，如图2，

∵△PAD∽△ABC，

∴∠ACB＝∠ADP，

∵∠ACB＝∠ADB，

∴∠ADP＝∠ADB

∴点B，P，D在一条直线上.

（3）∵∠APD＝∠ABP+∠BAP，∠CPD＝∠CBP+∠PCB，

∴∠APD+∠CPD＝∠ABP+∠BAP+∠CBP+∠PCB＝α+β+θ，

∵四边形APCD是平行四边形，

∴∠ADC＝∠APC＝∠APD+∠CPD，

∴180°﹣∠ABC＝α+β+θ，

∴2θ＝180°﹣α﹣β，

∴θ＝90°﹣﹣.

（4）连接EP，FP，

∵E，F分别为AB，BC的中点，

∴AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，

∵CD＝AB，CD＝AP，

∴AE＝AP，

∴∠APE＝90°﹣α，

同理可得∠CPF＝90°﹣β，

∴∠EPF＝360°﹣∠APE﹣∠CPF﹣∠APC＝180°﹣（α+β+θ），

∵θ＝90°﹣﹣，

∴∠EPF＝180°﹣（α+β+90°﹣﹣）＝90°，

∵E是AB的中点，点F是BC的中点，

∴EF∥AC，EF＝AC，

∴△BEH∽△BAQ，△BFH∽△BCQ，

∴，

∵AQ＝CQ，

∴EH＝HF，

∴PH＝EF＝AC，

∴．