Question

如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．

（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；

（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．

　

Answer 1

【考点】矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．

【专题】代数综合题；数形结合．

【分析】（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；

（2）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．

【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，

∴点E的坐标为（2，1），

代入反比例函数解析式得， =1，

解得k=2，

∴反比例函数解析式为y=，

∵点D在边BC上，

∴点D的纵坐标为2，

∴y=2时， =2，

解得x=1，

∴点D的坐标为（1，2）；

 

（2）如图，设直线与x轴的交点为F，

矩形OABC的面积=4×2=8，

∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，

∴梯形OFDC的面积为×8=3，

或×8=5，

∵点D的坐标为（1，2），

∴若（1+OF）×2=3，

解得OF=2，

此时点F的坐标为（2，0），

若（1+OF）×2=5，

解得OF=4，

此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，

当D（1，2），F（2，0）时，，

解得，

此时，直线解析式为y=﹣2x+4，

当D（1，2），F（4，0）时，，

解得，

此时，直线解析式为y=﹣x+，

综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．

【点评】本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（2）难点在于要分情况讨论．