Question

如图，已知Rt△ABC，以斜边AB为斜边作等腰Rt△ABD，连接CD，若AC=5，CD=

2

，则BC=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：以D为圆心，以CD为半径画弧，交BC于F，连接DF，求出∠BAD=45°，A、C、D、B四点共圆，根据圆内接四边形的性质得出∠DCF=∠DAB=45°，推出∠CDA=∠FDB，根据SAS推出△ADC≌△BDF，求出BF=AC=5，由勾股定理求出CF=2，求出BC即可．

解答：解：
以D为圆心，以CD为半径画弧，交BC于F，连接DF，
∵∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠BAD=45°，A、C、D、B四点共圆，
∴∠DCF=∠DAB=45°，
∵CD=DF，
∴∠DFC=∠DCF=45°，
∴∠CDF=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠CDA=∠FDB=90°-∠ADF，
在△ADC和△BDF中

AD=BD ∠ADC=∠BDF CD=DF

∴△ADC≌△BDF，
∴BF=AC=5，
在Rt△CDF中，CD=DF=

2

，∠CDF=90°，由勾股定理得：CF=2，
∴BC=2+5=7，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=

52+72

=

74

，
故答案为

74

．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键求出BC的长，难点是能正确作出辅助线．