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【题目】探究与发现:如图①,在ABC中,∠B=C=45°,点DBC边上,点EAC边上,且∠ADE=AED,连结DE.

(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;

(2)当点DBC(点B、C除外)边上运动时,试探究∠BAD与∠CDE的数量关系;

(3)深入探究:如图②,若∠B=C,但∠C≠45°,其它条件不变,试继续探究∠BAD与∠CDE的数量关系.

【答案】(1)EDC=30°;(2)EDC=BAD,证明见解析;(3)EDC=BAD,证明见解析.

【解析】

(1)先根据三角形外角的性质得出∠ADC=B+BAD=B+60°=105°,AED=C+EDC,再根据∠B=C,ADE=AED即可得出结论;

(2)(3)利用(1)的思路与方法解答即可.

(1)∵∠ADCABD的外角,

∴∠ADC=B+BAD=105°

∵∠AEDCDE的外角,

∴∠AED=C+EDC

∵∠B=C,∠ADE=AED

∴∠ADC﹣∠EDC=105°﹣∠EDC=45°+EDC

解得:∠EDC=30°

(2)EDC=BAD

证明:设∠BAD=x

∵∠ADCABD的外角,

∴∠ADC=B+BAD=45°+x

∵∠AEDCDE的外角,

∴∠AED=C+EDC

∵∠B=C,∠ADE=AED

∴∠ADC﹣∠EDC=45°+x﹣∠EDC=45°+EDC

解得:∠EDC=BAD

(3)EDC=BAD

证明:设∠BAD=x

∵∠ADCABD的外角,

∴∠ADC=B+BAD=B+x

∵∠AEDCDE的外角,

∴∠AED=C+EDC

∵∠B=C,∠ADE=AED

∴∠ADC﹣∠EDC=B+x﹣∠EDC=B+EDC

解得:∠EDC=BAD

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将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.

证明:连结DB,过点DBC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a,

∵S四边形ADCB=SACD+SABC= 12 b2+ 12 ab.

∵S四边形ADCB=SADB+SDCB= 12 c2+ 12 a(b﹣a)

∴ 12 b2+ 12 ab= 12 c2+ 12 a(b﹣a)

∴a2+b2=c2

请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2

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