Question

【题目】 [问题解决]：如图1，已知AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED的度数．

嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：

解：过点E作EF∥AB，

∴∠ABE=∠BEF=40°

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

…

请你补充完成嘉淇的解答过程：

[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：

如图3，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．

（1）当点P在B，D两点之间运动时(P不与B，D重合)，求α，β和∠APC之间满足的数量关系．

（2）当点P在B，D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．

Answer 1

【答案】[问题解决]见解析；[问题迁移]（1） ∠APC=α+β；（2） 当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．

【解析】

问题解决：过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED的度数；

问题迁移：（1）过P作PQ∥AB，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC之间满足的数量关系．

（2）分两种情况讨论：过P作PQ∥AB，易得当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．

问题解决：

如图2，过点E作EF∥AB，

∴∠ABE=∠BEF=40°

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，

∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°；

问题迁移：

（1）如图3，过P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，

∴∠APC=∠BAP+∠DCP，即∠APC=α+β；

（2）如图4，当点P在BN上时，∠APC=β-α；

如图5，当点P在OD上时，∠APC=α-β．