Question

已知关于x的方程（k-3）x²+kx+1=0．
（1）求证：不论k取何值，方程总有实数根；
（2）当k=4时，设该方程的两个根为d、m，求d²+m²的值．

Answer 1

考点：根的判别式,一元一次方程的解,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）分类讨论：当k-3=0，即k=3，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k-3≠0，即k≠3，计算判别式得到△=（k-2）²+8，利用（k-2）²≥0得到△＞0，则根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，然后可判断不论k取何值，方程总有实数根；
（2）k=4时，方程化为x²+4x+1=0，根据根与系数的关系得d+m=-4，dm=1，再利用完全平方公式变形得到d²+m²=（d+m）²-2dm，然后利用整体代入的方法计算即可．

解答：（1）证明：当k-3=0，即k=3，方程变形为3x+1=0，解得x=-

1

3

；
当k-3≠0，即k≠3，△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8，由于（k-2）²≥0，则△＞0，所以方程有两个不相等的实数根，
所以不论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：k=4时，方程化为x²+4x+1=0，
根据题意得d+m=-4，dm=1，
所以d²+m²=（d+m）²-2dm
=4²-2×1
=14．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．