Question

14．如图是二次函数y=（x-1）²-4的图象，与x轴交于A，B两点．将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

分析 先根据解析式及抛物线与x轴的交点的坐标特点，令y=0，列方程可求得，写出点A和B两点的坐标；画出翻折图形，根据图形观察，当直线过点B时，与新图象有一个公共点，再向上平移直线则与新图象有两个公共点，到经过点A时，开始有三个公共点，所以当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，就是直线过点A和点B之间的部分，从而得出结论．

解答 解：如图，当y=0时，（x-1）²-4=0，
（x-1）²=4，
x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
当直线y=x+b经过点B时，与新图象有一个公共点，
把B（3，0）代入y=x+b得：
3+b=0，
b=-3，
当直线y=x+b经过点A时，与新图象有三个公共点，
把A（-1，0）代入y=x+b中得：
-1+b=0，
b=1，
∴当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围是-3＜b＜1．

点评 本题考查了二次函数图象的几何变换，综合体现了数形结合的思想；解决此类问题的关键是：求特殊位置时点b的值，求直线y=x+b与新图象有一个公共点和三个公共点时的位置来确定两个公共点时的b的取值．