Question

7．如图，在△ABC中，∠A=m°．
（1）如图①，当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；
（2）如图②，当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；
（3）如图③，当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据O为△ABC的内心得到∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m°得到$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90$°-\frac{1}{2}m°$，从而求得∠OBC+∠OCB=90$°-\frac{1}{2}m°$，进一步求得∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90$°+\frac{1}{2}m°$；
（2）根据圆周角定理直接利用∠A的度数求得∠BOC的度数即可；
（3）连接AO，并延长与BC边相交于点F，则AF⊥BC，易得∠ABD=∠ACE=90°-∠BAC=90°-m°，由外角的性质可得结果．

解答 解：（1）∵O为△ABC的内心，
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m°，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°$-\frac{1}{2}m°$，
即∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}m°$，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°$+\frac{1}{2}m°$；

（2）∵点O为△ABC的外心，
∴由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=2m°；

（3）连接AO，并延长与BC边相交于点F，则AF⊥BC，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD=∠ACE=90°-∠BAC=90°-m°，
∴∠BOC=∠BOF+∠COF=∠BAF+∠ABD+∠CAF+∠ACE=∠ABD+∠BAC+∠ACE=2×（90°-m°）+m°=180°-m°．

点评 本题考查了三角形的五心的知识及三角形的内切圆与内心，三角形得出外接圆与外心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，熟练运用外角性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．