【题目】阅读理解:在平面直角坐标系中,对于任意两点与的“非常距离”,给出如下定义:
若,则点与点的“非常距离”为;
若,则点与点的“非常距离”为.
例如:点,点,因为,所以点与点的“非常距离”为,也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点).
(1)已知点,为轴上的一个动点.
①若点(0,3),则点与点的“非常距离”为 ;
②若点与点的“非常距离”为2,则点的坐标为 ;
③直接写出点与点的“非常距离”的最小值为 ;
(2)已知点(0,1),点是直线上的一个动点,如图2,求点与点“非常距离”的最小值及相应的点的坐标.
【答案】(1)①3;②B(0,2)或(0,﹣2);③;(2)最小值为, .
【解析】
(1)①根据若,则点与点的“非常距离”为解答即可;
②根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为.由“非常距离”的定义可以确定,据此可以求得y的值;
③设点B的坐标为.因为,所以点A与点B的“非常距离”最小值为;
(2)设点C的坐标为.根据材料“若,则点与点的“非常距离”为”,此时,列出再求解,据此可以求得最小值和点C的坐标.
解:(1)① ,.
∵ ,∴点A与点B的“非常距离”为3.
② ∵B为y轴上的一个动点,∴设点B的坐标为(0,y).
∵,∴.
解得,y=2或y=﹣2;
∴点B的坐标是(0,2)或(0,﹣2).
③ 点A与点B的“非常距离”的最小值为.
(2)如图2,取点C与点D的“非常距离”的最小值时,
需要根据运算定义“若,则点与点的‘非常距离’为”解答,此时.
∵是直线上的一个动点,点D的坐标是(0,1),
∴设点的坐标为,则
∴或,∴或.
∵ ,∴点C与点D的“非常距离”的最小值为,
此时.
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【题目】如图①,在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上,O为坐标原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N.
(1)当A点第一次落在直线y=x上时,求点A所经过的路线长;
(2)在旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数;
(3)设△MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论.
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【题目】如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)试判断线段DE与FH之间的数量关系,并说明理由;
(2)求证:∠DHF=∠DEF.
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【题目】四边形ABCD为矩形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E.
(1)如图1,若AB=BC,BF∥DE,且交AG于点F,求证:AF﹣BF=EF;
(2)如图2,在(1)条件下,AG= BG,求 ;
(3)如图3,连EC,若CG=CD,DE=2,GE=1,则CE=(直接写出结果)
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【题目】2016年中考前,张老师为了解全市初三男生体育考试项目的选择情况(每人限选一项),在全市范围内随机调查了部分初三男生,将调查结果分成五类:A.推实心球(2kg);B.立定跳远;C.半场运球;D.跳绳;E.其他,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)将上面的条形统计图补充完整;
(2)假定全市初三毕业学生中有32000名男生,试估计全市初三男生中选半场运球的人数有多少人;
(3)甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目:B.立定跳远;C.半场运球;D.跳绳中各选一项,同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少?请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果.
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【题目】如图,在数轴上点A表示的有理数为,点B表示的有理数为6,点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由运动,同时,点Q从点B出发以每秒1个单位长度的速度由运动,当点Q到达点A时P、Q两点停止运动,设运动时间为单位:秒.
(1)求时,求点P和点Q表示的有理数;
(2)求点P与点Q第一次重合时的t值;
(3)当t的值为多少时,点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度?
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