Question

如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的垂直平分线，交BC延长线于F，求证：DF²=BF•CF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：求出∠BAD=∠CAD，根据线段的垂直平分线性质得出AF=DF，推出∠FAD=∠ADF，求出∠FAC=∠B，证△FAC∽△FBA，得出比例式，即可得出答案．

解答：证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠ADF，
∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠ADF=∠BAD+∠B，
∴∠FAC=∠B，
∵∠AFC=∠AFB，
∴△FAC∽△FBA，
∴

AF

CF

=

BF

AF

，
∴AF²=BF×CF，
∵AF=DF，
∴DF²=BF•CF．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△FAC∽△FBA．