Question

18．如图，四边形ABDC中，∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB=4，CD=4$\sqrt{3}$，则该四边形的面积是16$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长CA、DB交于点E，则∠C=60°，∠E=30°．在Rt△ABE中，利用含30°角的直角三角形的性质求出BE=2AB=8，根据勾股定理求出AE=4$\sqrt{3}$．同理，在Rt△DEC中求出CE=2CD=8$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=12，然后根据S_{四边形ABDC}=S_△CDE-S_△ABE，计算即可求解．

解答 解：如图，延长CA、DB交于点E，
∵四边形ABDC中，∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，
∴∠C=60°，
∴∠E=30°．
在Rt△ABE中，∵AB=4，∠E=30°，
∴BE=2AB=8，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
在Rt△DEC中，∵∠E=30°，CD=4$\sqrt{3}$，
∴CE=2CD=8$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=12，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
S_△CDE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×12=24$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABDC}=S_△CDE-S_△ABE=16$\sqrt{3}$．
故答案为16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．