Question

3．在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB所对的边b，c满足b²+c²-4（b+c）+8=0．
（1）证明：△ABC是边长为2的等边三角形．
（2）若b，c两边上的中线BD，CE交于点O，求OD：OB的值．

Answer 1

分析 （1）由b²+c²-2（b+c）+2=0，可以判定b=c，∠A=60°可以确定△ABC是边长为1的等边三角形；
（2）连接DE，点D、E分别是边AC、AB边上的中点，所以DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，∴△DEO∽△BOC，即可得到答案．

解答 解：（1）∵b²+c²-4（b+c）+8=0，
∴（b-2）²+（c-2）²=0，
∴b=c=2，
又∵∠A=60°，
所以△ABC是边长为2的等边三角形；
（2）连接DE，
∵点D、E分别是边AC、AB边上的中点，
所以DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵DE∥BC，
∴△DEO∽△BOC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$

点评 本题考查因式分解的应用以及相似三角形的综合应用，解答本题的关在在于熟记公式的转化和相似三角形的判定方法和性质的综合应用．