Question

已知，如图，一次函数 y=kx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，A 点坐标为（3，0），^∠OAB=45°．

（1）求一次函数的表达式；

点 P 是 x 轴正半轴上一点，以 P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰 Rt^△BPC，连接 CA 并延 长交 y 轴于点 Q．

①若点 P 的坐标为（4，0），求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的函数表达式；

②当 P 点在 x 轴正半轴运动时，Q 点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化， 请求出它的变化范围．

Answer 1

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1））由^∠AOB=90°，^∠OAB=45°，可得^∠OBA=^∠OAB=45°，即 OA=OB，由 A（3，0）， 可得 B（0，3），代入 y=kx+b 可得出 k，b 的值，即可得出一次函数的表达式；

①过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，易证^△BOP^≌△PDC，进而得出点 P，C，的坐标，所点 A，C

^{的坐标代入 y=k}1^x+b1 ^{求解即可．}

②由^△BOP^≌△PDC，可得 PD=BO，CD=PO，由线段关系进而得出 OA=OB，得出 AD=CD，由角 的关系可得^△AOQ 是等腰直角三角形，可得出 OQ=OA，即可得出点 Q 的坐标．

【解答】解：（1）^∵∠AOB=90°，^∠OAB=45°

^∴∠OBA=^∠OAB=45°，

^∴OA=OB，

^∵A（3，0），

^∴B（0，3），

^∴ ，

解得 k=﹣1．

^∴y=﹣x+3，

①如图，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，

^∵∠BPO+^∠CPD=^∠PCD+^∠CPD=90°，

^∴∠BPO=^∠PCD， 在^△BOP 和^△PDC 中，

，

^∴△BOP^≌△PDC（AAS）．

^∴PD=BO=3，CD=PO，

^∵P（4，0），

^∴CD=PO=4，则 OD=3+4=7，

^∴点 C（7，4），

^{设直线 AC 的函数关系式为 y=k}1^x+b1^， 则 ，

解得       ．

^∴直线 AC 的函数关系式为 y=x﹣3；

②点 Q 的位置不发生变化．

由①知^△BOP^≌△PDC，当点 P 在 x 轴正半轴运动时，仍有^△BOP^≌△PDC，

^∴PD=BO，CD=PO，

^∴PO+PD=CD+OB，即 OA+AD=OB+CD，

又^∵OA=OB，

^∴AD=CD，

^∴∠CAD=45°，

^∴∠CAD=^∠QAO=45°，

^∴OQ=OA=3，

即点 Q 的坐标为（0，﹣3）．